什么样的犯罪分子可以申请监外执行？

首先，并不是所有罪犯都能申请监外执行。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第265条规定，能够申请监外执行的前提是被判处有期徒刑或者拘役的罪犯，并且还在执行过程中。被判处死刑的罪犯，不存在暂予监外执行的可能。

具体来说，满足以下情形之一的可以申请：

一是有严重疾病需要保外就医的。这里的严重疾病指的是罪犯的身体状况严重影响到其生命安全或日常生活自理能力，且疾病并非由罪犯自残自伤所致。同时，如果保外就医可能对社会造成危险，那么该罪犯不得保外就医。并且，对罪犯确有严重疾病，必须保外就医的，要由省级人民政府指定的医院诊断并开具证明文件。

二是怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女。这里的哺乳期限按照婴儿出生后1年计算。对被判处无期徒刑的罪犯，有此情形的，也可以暂予监外执行。

三是生活不能自理，适用暂予监外执行不致危害社会的。

总之，监外执行的规定是为了在法律执行中体现人道主义精神以及合理安排刑罚执行方式，但都需要严格按照法律规定的条件和程序来进行。

相关概念：

保外就医：是指罪犯因患有严重疾病，根据国家相关法律和政策，经司法机关批准让其取保监外医治的执行方法。

暂予监外执行：是指对被判处有期徒刑或者拘役的罪犯，由于符合法定情形，决定暂不收监或者收监以后又决定改为暂时监外服刑，由社区矫正机构负责执行的刑罚执行制度。