一、重婚罪概述
重婚罪是指有配偶而重婚的，或者明知他人有配偶而与之结婚的行为。我国《刑法》第二百五十八条明确规定：“有配偶而重婚的，或者明知他人有配偶而与之结婚的，处二年以下有期徒刑或者拘役。”重婚行为严重违背了我国的婚姻制度，损害了婚姻关系的稳定性和社会公序良俗。
二、公安机关对重婚罪案件的调查职责
重婚罪是公诉案件与自诉案件的交叉。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十五条规定，公安机关对已经立案的刑事案件，应当进行侦查，收集、调取犯罪嫌疑人有罪或者无罪、罪轻或者罪重的证据材料。对现行犯或者重大嫌疑分子可以依法先行拘留，对符合逮捕条件的犯罪嫌疑人，应当依法逮捕。第一百一十六条规定，公安机关经过侦查，对有证据证明有犯罪事实的案件，应当进行预审，对收集、调取的证据材料予以核实。也就是说，公安机关在接到重婚罪的报案或者立案后，有责任和义务对案件展开调查，收集相关证据。
三、实际案例分析
案例：甲男与乙女于2010年登记结婚，婚后育有一子。2015年，甲男在外地工作期间，与丙女相识并发展为恋人关系，随后二人以夫妻名义共同生活，并对外宣称是夫妻。乙女得知后，向公安机关报案。公安机关立案后，依法展开调查。通过调取甲男与丙女居住小区的监控录像、走访邻居获取证人证言、查询甲男与丙女的通话记录等方式，收集到了大量能够证明甲男与丙女以夫妻名义共同生活的证据。最终，法院依据公安机关收集的证据，认定甲男构成重婚罪，判处其有期徒刑一年。
在这个案例中，公安机关积极履行了调查取证的职责，通过多种途径收集了关键证据，使得案件得以顺利侦破，犯罪嫌疑人受到了应有的法律制裁。
四、法律建议
- 对于受害者而言，如果发现配偶或者他人有重婚的嫌疑，应当及时收集和保留相关证据，如重婚者与他人的结婚登记证书、以夫妻名义共同生活的照片、视频、证人证言等。同时，要及时向公安机关报案，配合公安机关的调查工作。
- 公安机关在调查重婚罪案件时，应当严格按照法定程序进行，确保收集的证据合法、有效。要充分运用现代科技手段，如监控录像、通讯记录等，提高调查取证的效率和准确性。
- 社会公众应当增强法律意识，了解重婚罪的相关法律规定，自觉遵守婚姻制度，抵制重婚行为。如果发现身边存在重婚现象，要敢于向有关部门举报，维护婚姻制度的严肃性和社会公序良俗。
综上所述，公安机关对重婚罪案件立案后，需要调查相应证据。这不仅是法律赋予公安机关的职责，也是打击重婚犯罪、维护婚姻制度和社会秩序的必然要求。