什么机构履行宪法赋予的宪法监督职责？

在我国，全国人民代表大会和全国人民代表大会常务委员会履行宪法赋予的宪法监督职责。

宪法监督是指特定的机关依据一定的程序，审查和裁决法律、法规和行政命令等规范性文件是否符合宪法，以维护宪法权威，保证宪法实施和保障公民宪法权利的制度。简单来说，就是看看其他的法律法规等有没有和宪法的规定相冲突。

《中华人民共和国宪法》第六十二条规定，全国人民代表大会行使监督宪法的实施的职权。第六十七条规定，全国人民代表大会常务委员会行使解释宪法，监督宪法的实施的职权。这就从法律条文上明确了全国人大及其常委会的宪法监督职责。

全国人民代表大会是我国的最高国家权力机关，代表人民行使国家权力。它的性质和地位决定了它有足够的权威性和代表性来监督宪法的实施。而全国人民代表大会常务委员会是全国人民代表大会的常设机关，在全国人民代表大会闭会期间，它可以继续履行监督宪法实施等重要职责，保证宪法监督工作的连续性和稳定性。它们通过对法律、行政法规、地方性法规等规范性文件进行审查，确保这些文件符合宪法的规定和精神，从而维护国家法制的统一和尊严。