涉嫌犯罪检察院不批捕，公安机关可以上诉吗？

在探讨公安机关面对检察院不批捕决定能否上诉这个问题之前，我们需要先明确相关法律概念。不批捕决定是指人民检察院对公安机关提请批准逮捕的犯罪嫌疑人进行审查后，认为不符合逮捕条件，依法作出不批准逮捕犯罪嫌疑人的决定。而上诉，通常是指当事人对人民法院所作的尚未发生法律效力的一审判决、裁定或评审决定，在法定期限内，依法声明不服，提请上一级人民法院重新审判的活动。

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十二条规定，公安机关对人民检察院不批准逮捕的决定，认为有错误的时候，可以要求复议，但是必须将被拘留的人立即释放。如果意见不被接受，可以向上一级人民检察院提请复核。上级人民检察院应当立即复核，作出是否变更的决定，通知下级人民检察院和公安机关执行。由此可见，法律并未赋予公安机关“上诉”的权利，而是规定了复议和复核的程序。

复议程序是指公安机关在收到人民检察院不批准逮捕决定书后，如果认为该决定有错误，可以在五日内制作《要求复议意见书》，送交同级人民检察院复议。而复核程序则是在公安机关要求复议的意见不被接受时，在七日内制作《提请复核意见书》，连同人民检察院的《复议决定书》，一并提请上一级人民检察院复核。

综上所述，公安机关在检察院作出不批捕决定后，不能上诉，但可以通过要求复议、提请复核来表达自己的意见和诉求，以确保法律的正确实施和案件的公正处理。