指定居所监视居住究竟由哪个机关执行？

指定居所监视居住由公安机关执行。以下为你详细解释：

首先，要明确监视居住是人民法院、人民检察院、公安机关在刑事诉讼中限令犯罪嫌疑人、被告人在规定的期限内不得离开住处或者指定的居所，并对其行为加以监视、限制其人身自由的一种强制措施。

其次，关于执行机关的法律依据。根据《刑事诉讼法》第七十四条规定，人民法院、人民检察院和公安机关对符合逮捕条件的特定情形犯罪嫌疑人、被告人，可以监视居住，而监视居住由公安机关执行。例如，对于患有严重疾病、生活不能自理的；怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女等符合条件的犯罪嫌疑人、被告人采取监视居住时，执行机关就是公安机关。

再者，在一些具体情形下指定居所监视居住的适用。根据《刑事诉讼法》第七十五条规定，监视居住应当在犯罪嫌疑人、被告人的住处执行；无固定住处的，可以在指定的居所执行。对于涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪，在住处执行可能有碍侦查的，经上一级公安机关批准，也可以在指定的居所执行。但是，不得在羁押场所、专门的办案场所执行。

最后，人民检察院对指定居所监视居住的决定和执行是否合法实行监督，以确保这一措施依法依规进行。例如，如果公安机关在执行指定居所监视居住过程中存在违法违规行为，人民检察院可以进行监督和纠正。