是否存在租赁合同？

在法律上，租赁合同是出租方将租赁物交付给承租方使用、收益，承租方支付租金的合同。租赁合同并不局限于书面形式，除了常见的书面合同外，还有口头合同等形式。

根据《中华人民共和国民法典》第七百零七条规定，租赁期限六个月以上的，应当采用书面形式。当事人未采用书面形式，无法确定租赁期限的，视为不定期租赁。也就是说，如果租赁期限不满六个月，即使没有书面合同，口头达成的租赁约定也是有效的租赁合同。在您描述的情况中，您和房东有关于租房的口头约定，并且您已经搬进去居住，还支付了租金，这一系列行为表明你们之间存在租赁的事实。虽然没有书面合同，但构成了事实上的租赁关系，也属于租赁合同的一种。

不过，这种没有书面合同的租赁存在一定风险。对于不定期租赁，双方都可以随时解除合同，但出租人解除合同应当在合理期限之前通知承租人。为了更好地保障双方的权益，避免可能出现的纠纷，建议还是签订书面的租赁合同，明确租赁期限、租金、支付方式、房屋维修责任等重要条款。