单位驾驶员发生交通事故受伤、死亡的，应当由谁承担损害赔偿责任？

当单位驾驶员在工作过程中因交通事故受伤甚至不幸死亡时，损害赔偿责任的承担问题需要依据具体情况，按照相关法律规定来确定。

首先，依据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条规定，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。如果单位驾驶员是在执行工作任务时发生交通事故，那么从用人单位责任角度来看，若事故导致他人损害，用人单位应承担赔偿责任。例如，驾驶员是在外出送货、接送客户等工作行程中发生事故，这属于执行工作任务的范畴。

而对于单位驾驶员自身在事故中受伤或死亡的情况，要分不同情形。一方面，符合《工伤保险条例》第十四条规定的情形，应当认定为工伤。该条规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的；工作时间前后在工作场所内，从事与工作有关的预备性或者收尾性工作受到事故伤害的；在工作时间和工作场所内，因履行工作职责受到暴力等意外伤害的；患职业病的；因工外出期间，由于工作原因受到伤害或者发生事故下落不明的；在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的；法律、行政法规规定应当认定为工伤的其他情形。一旦认定为工伤，单位应按照工伤保险的相关规定，为驾驶员申请工伤认定和赔偿。

另一方面，如果交通事故是由第三方的过错导致的，那么驾驶员既可以依据工伤程序向单位主张工伤保险待遇，也可以向第三方主张侵权损害赔偿。不过，在一些费用上，比如医疗费等实际支出费用，一般不能重复获得赔偿。比如，驾驶员因第三方车辆违规行驶导致事故受伤，驾驶员既可以向单位申请工伤赔偿，也可以要求第三方承担侵权责任。

此外，如果驾驶员自身对事故存在故意或重大过失，在向第三方主张赔偿以及单位内部责任划分上可能会有所不同。比如驾驶员严重违反交通规则导致事故发生，单位在承担赔偿责任后，可能会依据内部规章制度向驾驶员进行追偿。

综上所述，单位驾驶员发生交通事故受伤、死亡的，损害赔偿责任的承担需要综合多方面因素来确定，既要考虑是否属于工伤，又要判断是否存在第三方侵权以及驾驶员自身的过错等情况。