一、法律规定下不批捕后公安机关侦查期限的情况
一般而言，法律并没有明确规定不批捕之后公安机关常规侦查的具体期限。但是，在某些特定情形下是有期限规定的。
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》规定，对于需要补充侦查的案件，应在一个月内补充侦查完毕，且补充侦查以二次为限。例如，在一些案件中，检察院在审查案件时认为证据不够充分，决定不批准逮捕并要求公安机关补充侦查。此时，公安机关就需要在一个月内完成补充侦查工作。如果一次补充侦查后，案件仍存在问题，检察院再次要求补充侦查的，公安机关还有一次一个月的补充侦查期限。
二、实际案例分析
在某起盗窃案件中，公安机关初步侦查后将案件移送检察院审查批捕。检察院经审查认为，现有证据无法确凿证明犯罪嫌疑人实施了盗窃行为，决定不批准逮捕，并要求公安机关补充侦查相关证据，如寻找更多的目击证人、调取案发地周边监控视频等。公安机关接到要求后，积极开展工作，在一个月内完成了补充侦查，再次将案件移送检察院。检察院经审查后，认为部分证据仍需进一步核实，于是第二次要求公安机关补充侦查。公安机关又在一个月内完成了第二次补充侦查，最终检察院根据补充后的证据，依法对犯罪嫌疑人作出了批准逮捕的决定。
三、法律建议
- 对于公安机关而言：
- 当接到检察院不批准逮捕并要求补充侦查的决定后，应高度重视，迅速组织警力，按照要求全面、细致地开展补充侦查工作。要注重证据的收集和固定，确保证据的合法性、真实性和关联性。
- 在补充侦查过程中，要严格遵守法定的期限，避免超期侦查。如果在期限内确实无法完成补充侦查工作，应及时与检察院沟通，说明情况，争取得到理解和支持。
- 对于犯罪嫌疑人及其辩护人而言：
- 犯罪嫌疑人应积极配合公安机关的侦查工作，如实供述自己的罪行，争取从轻处罚。同时，也要注意维护自己的合法权益，对于公安机关违法侦查的行为，有权提出申诉和控告。
- 辩护人应密切关注案件进展，及时了解公安机关的侦查情况，为犯罪嫌疑人提供有效的法律帮助和辩护。如果发现公安机关存在超期侦查等违法行为，应及时向有关部门反映，维护犯罪嫌疑人的合法权益。
- 对于被害人而言：
- 被害人应积极向公安机关提供案件线索和证据，协助公安机关开展侦查工作，使犯罪分子受到应有的惩处。同时，被害人也有权了解案件的进展情况，对公安机关的侦查工作进行监督。
总之，不批捕后公安机关的侦查期限在法律上有明确规定的主要是补充侦查的情况，相关各方都应严格遵守法律规定，确保刑事诉讼活动的顺利进行。