监外执行是一种特殊的刑罚执行方式，它是指由于罪犯具有法律规定的某种情况而暂时变更刑罚执行场所和执行方式，在监狱外执行刑罚的制度。那么，监外执行具体由哪个机关批准呢？这需要根据不同的情况来确定。
交付执行前监外执行的批准机关
在交付执行前，暂予监外执行由交付执行的人民法院决定。根据《刑事诉讼法》第二百六十五条规定，对被判处有期徒刑或者拘役的罪犯，有下列情形之一的，可以暂予监外执行：（一）有严重疾病需要保外就医的；（二）怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女；（三）生活不能自理，适用暂予监外执行不致危害社会的。对被判处无期徒刑的罪犯，有前款第二项规定情形的，可以暂予监外执行。在法院审判过程中，如果被告人符合上述监外执行条件，人民法院在判决时可直接决定暂予监外执行。
案例：被告人李某，在审判期间被查出患有严重的心脏病，需要长期住院治疗。法院经审查相关医疗证明后，认为李某符合暂予监外执行的条件，于是在判决时决定对李某暂予监外执行。
交付执行后监外执行的批准机关
- 在监狱服刑罪犯的监外执行批准：在交付执行后，对于在监狱服刑的罪犯，如果需要暂予监外执行，由监狱提出书面意见，报省级以上监狱管理机关批准。例如，罪犯张某在监狱服刑期间，因突发重大疾病，生活不能自理。监狱在了解情况后，收集相关医疗资料和证明，提出书面意 见，上报省级监狱管理机关。省级监狱管理机关经审核，批准张某暂予监外执行。
- 在看守所、拘役所服刑罪犯的监外执行批准：在看守所、拘役所服刑的罪犯需要暂予监外执行的，应由看守所或拘役所提出书面意见，报设区的市一级以上公安机关批准。比如，罪犯王某在看守所服刑，期间怀孕。看守所根据相关规定，提出书面意见，报设区的市一级公安机关批准后，对王某暂予监外执行。
监外执行的实施机关
监外执行的实施机关是公安机关，具体由当地的社区矫正机构执行，一般是当地的司法局。社区矫正机构负责对监外执行罪犯进行监督管理和教育帮扶，确保其遵守相关规定，服从监管。
法律建议
- 对于罪犯及其家属：如果认为罪犯符合监外执行条件，应及时向相关执行机关提出申请，并提供真实、充分的证明材料，如医疗诊断证明、怀孕证明等。同时，在监外执行期间，要严格遵守相关监管规定，定期向社区矫正机构报告情况，积极配合监督管理和教育帮扶。
- 对于执法机关：应严格按照法律规定的程序和条件，认真审查和决定监外执行申请，确保暂予监外执行的决定合法、公正。同时，要加强对监外执行罪犯的监督管理，防止出现脱管、漏管等问题。