公安机关和国家有关部门应当履行哪些职责？

在我国，公安机关和国家有关部门在社会治理和公共服务等诸多方面都承担着重要职责。

公安机关是具有武装性质的国家治安行政力量和刑事司法力量，其职责范围广泛。依据《中华人民共和国人民警察法》第六条，公安机关的人民警察按照职责分工，依法履行下列职责：预防、制止和侦查违法犯罪活动；维护社会治安秩序，制止危害社会治安秩序的行为；维护交通安全和交通秩序，处理交通事故；组织、实施消防工作，实行消防监督；管理枪支弹药、管制刀具和易燃易爆、剧毒、放射性等危险物品；对法律、法规规定的特种行业进行管理；警卫国家规定的特定人员，守卫重要的场所和设施；管理集会、游行、示威活动；管理户政、国籍、入境出境事务和外国人在中国境内居留、旅行的有关事务；维护国（边）境地区的治安秩序；对被判处拘役、剥夺政治权利的罪犯执行刑罚；监督管理计算机信息系统的安全保护工作；指导和监督国家机关、社会团体、企业事业组织和重点建设工程的治安保卫工作，指导治安保卫委员会等群众性组织的治安防范工作；法律、法规规定的其他职责。

而国家有关部门根据其不同的职能定位，也有各自应当履行的职责。比如市场监督管理部门，依据《中华人民共和国市场主体登记管理条例》等相关法规，负责市场主体登记管理工作，加强信用监管，维护市场秩序等。税务部门则根据《中华人民共和国税收征收管理法》等规定，负责税收征收管理工作，保障国家税收收入等。这些部门的职责规定，都是为了保障国家的正常运转、社会的稳定以及公民、法人和其他组织的合法权益。