从案例看行政机关的法定职责是怎样的？

行政机关的法定职责是指由法律、法规和规章所规定的，行政机关在行政管理活动中必须承担和履行的责任与义务。简单来说，就是法律规定行政机关该做什么事。

从法律依据来看，《中华人民共和国行政诉讼法》明确规定，公民、法人或者其他组织认为行政机关和行政机关工作人员的行政行为侵犯其合法权益，有权依照本法向人民法院提起诉讼。这里所涉及的行政行为就与行政机关的法定职责密切相关。如果行政机关不履行或者拖延履行法定职责，就可能构成违法。

下面结合案例来具体说明。假设一个案例中，某小区居民向当地环保部门反映附近工厂存在严重的噪音污染问题。环保部门在接到投诉后，依据相关环保法律法规，就具有对该工厂进行调查、检测并依法处理的法定职责。

《中华人民共和国环境保护法》规定，县级以上人民政府环境保护主管部门，对本行政区域环境保护工作实施统一监督管理。在这个案例中，环保部门作为该行政区域的环保主管部门，就有责任对噪音污染问题进行调查核实。这是其法定职责的一部分。

具体操作流程上，环保部门需要安排工作人员到现场进行噪音检测，收集相关证据。如果检测结果显示工厂确实存在超标噪音污染，那么环保部门就应当按照《环境噪声污染防治法》等相关法律规定，对工厂进行相应的处罚，比如责令其整改、罚款等。这一系列的调查、检测和处理行为，都是环保部门法定职责的具体履行。

如果环保部门接到居民投诉后，既不进行调查，也不采取任何措施，那么居民就可以依据《行政诉讼法》，以环保部门不履行法定职责为由，向人民法院提起行政诉讼。法院在审理此类案件时，会依据相关法律法规来判断行政机关是否应当履行该职责，以及是否正确履行了职责。

综上所述，行政机关的法定职责是由众多法律法规所明确规定的，并且有相应的履行程序和责任追究机制。行政机关必须严格按照法律规定履行职责，以保障公民、法人和其他组织的合法权益，维护社会的正常秩序。