姑姑姑父去世后，父母可以收养他们的孩子吗？

首先，这种情况下父母是有可能收养姑姑姑父去世后留下的孩子的。在法律层面，收养是指通过一定法律程序，将他人的子女作为自己的子女加以抚养，使原来没有直系血亲关系的人们产生了法律拟制的父母和子女关系的法律行为。

依据《中华人民共和国民法典》第一千零九十三条规定，下列未成年人，可以被收养：（一）丧失父母的孤儿；（二）查找不到生父母的未成年人；（三）生父母有特殊困难无力抚养的子女。姑姑姑父去世后留下的孩子属于丧失父母的孤儿，符合被收养的条件。

同时，对于收养人，《民法典》第一千零九十八条也规定了收养人应当同时具备下列条件：（一）无子女或者只有一名子女；（二）有抚养、教育和保护被收养人的能力；（三）未患有在医学上认为不应当收养子女的疾病；（四）无不利于被收养人健康成长的违法犯罪记录；（五）年满三十周岁。如果父母满足这些条件，就可以收养这个孩子。

此外，如果收养三代以内旁系同辈血亲的子女，还可以不受“生父母有特殊困难无力抚养的子女”“有特殊困难无力抚养子女的生父母”“无配偶者收养异性子女的，收养人与被收养人的年龄应当相差四十周岁以上”等限制。姑姑姑父与父母属于三代以内旁系血亲关系，在一定程度上会适用这些放宽条件。

在收养程序方面，根据《民法典》第一千一百零五条规定，收养应当向县级以上人民政府民政部门登记。收养关系自登记之日起成立。收养查找不到生父母的未成年人的，办理登记的民政部门应当在登记前予以公告。收养关系当事人愿意签订收养协议的，可以签订收养协议。收养关系当事人各方或者一方要求办理收养公证的，应当办理收养公证。县级以上人民政府民政部门应当依法进行收养评估。所以，父母如果要收养这个孩子，需要按照这些法定程序进行办理。