如何证明债务人死亡后其子女进行了继承？

要证明债务人死亡子女继承，可以从以下几个方面着手：首先，要获取债务人死亡的确切证据，比如医院出具的死亡证明、公安机关的销户证明或者火化证明等 。这是整个证明过程的基础，只有先确定债务人已经死亡，后续的证明才有意义。《中华人民共和国民法典》第一千一百二十一条规定，继承从被继承人死亡时开始。所以，明确债务人死亡时间很关键。

其次，调查债务人生前的财产状况。这包括房产、车辆、银行存款、股权等各类财产形式。可以通过查询房产登记信息、车辆登记档案、银行账户流水等方式来了解。如果发现债务人生前有房产，且在其死亡后，子女办理了房产过户登记手续，那么这就是子女继承遗产的一个重要证据。因为一般情况下，没有合法的继承手续，房产管理部门是不会办理过户的。

再者，确定子女是否属于合法继承人。根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条规定，遗产按照下列顺序继承：第一顺序为配偶、子女、父母；第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母 。这里的子女包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。如果能证明债务人的子女属于上述合法继承人范畴，那么他们就有继承遗产的资格。

另外，如果债务人留有遗嘱，且遗嘱中明确指定子女为继承人，那么这份遗嘱就是证明子女继承的有力证据。遗嘱可以是自书遗嘱、代书遗嘱、录音录像遗嘱、口头遗嘱、公证遗嘱等法定形式。只要遗嘱符合法律规定的形式要件和实质要件，就具有法律效力。

最后，可以要求子女提供相关的证明材料，比如身份证明、继承权公证书等。继承权公证书是公证机构根据法定程序，对继承人的继承权进行确认后出具的具有法律效力的文书。如果子女能够提供有效的继承权公证书，也能证明他们继承了债务人的遗产。

相关概念：

法定继承人：是指依照法律规定，有权继承被继承人遗产的人。包括第一顺序的配偶、子女、父母，第二顺序的兄弟姐妹、祖父母、外祖父母等 。

遗嘱：是指自然人生前按照法律规定处分自己的财产及安排与财产相关的事务，并于死亡时发生法律效力的单方民事法律行为 。

继承权公证书：是公证机关根据法定继承权， 遗嘱继承权和协议继承权等国家法律所承认的继承权， 对继承死者生前私有财产者， 进行身份确定， 材料核实等一系列工作后， 所出具的公证书 。