女方私底下把小孩随女方姓，男方提出离婚，这种情况法律上怎么处理？

在法律层面，针对女方私下将小孩姓氏改为随自己姓，男方提出离婚这一情况，我们可以从几个方面来分析。

首先是关于孩子姓氏更改的问题。根据《中华人民共和国民法典》第一千零一十五条规定，自然人应当随父姓或者母姓。同时，最高人民法院《关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第五十九条明确，父母不得因子女变更姓氏而拒付子女抚养费。父或者母擅自将子女姓氏改为继母或继父姓氏而引起纠纷的，应当责令恢复原姓氏。所以女方私下给孩子改姓的做法是不符合相关程序要求的，男方有权要求恢复孩子原来的姓氏。

接着看离婚的判定。《中华人民共和国民法典》第一千零七十九条规定，夫妻一方要求离婚的，可以由有关组织进行调解或者直接向人民法院提起离婚诉讼。人民法院审理离婚案件，应当进行调解；如果感情确已破裂，调解无效的，应当准予离婚。仅因为女方私自更改孩子姓氏这一情况，法院一般不会直接认定为夫妻感情确已破裂。法院会综合考量夫妻双方的感情基础、婚后感情状况、有无和好可能等多方面因素。

再来说孩子抚养权问题。法院在判决孩子抚养权时，遵循的是最有利于未成年子女的原则。根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条规定，离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。所以孩子的年龄、双方的经济状况、生活环境等都会影响抚养权的判决，而不是单纯因为姓氏更改来决定。

最后是财产分割。依据《中华人民共和国民法典》第一千零八十七条规定，离婚时，夫妻的共同财产由双方协议处理；协议不成的，由人民法院根据财产的具体情况，按照照顾子女、女方和无过错方权益的原则判决。所以在财产分割上，一般会综合考虑夫妻双方对家庭的贡献、双方的经济状况等因素，而女方私自更改孩子姓氏通常不会直接影响财产分割的比例，但如果男方能证明因为此事遭受了精神损害等，在一定情况下可能会对财产分割产生影响。