不履行赡养权会承担什么法律责任呢？

首先，我们要明确，这里准确的说法应该是“赡养义务”而非“赡养权”。赡养义务是指成年子女对父母在经济上提供必要的生活费用，在生活上给予照料，在精神上予以慰藉的责任。

从民事法律角度来看，《中华人民共和国民法典》第一千零六十七条规定，成年子女不履行赡养义务的，缺乏劳动能力或者生活困难的父母，有要求成年子女给付赡养费的权利。也就是说，如果父母因年老、疾病等原因缺乏劳动能力或生活困难，而子女不履行赡养义务，父母可以向法院起诉，要求子女支付赡养费。法院会根据父母的实际需求、子女的经济状况等因素，判决子女支付一定数额的赡养费。如果子女拒不执行法院关于支付赡养费的判决，父母可以向法院申请强制执行，法院有权采取查询、冻结、划拨子女的存款，扣留、提取子女的收入等措施。

在刑事法律方面，如果子女拒绝赡养父母，情节恶劣的，可能会构成遗弃罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百六十一条规定，对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。这里的“情节恶劣”一般是指由于遗弃而致被害人重伤、死亡的；被害人因被遗弃而生活无着，流离失所，被迫沿街乞讨的；因遗弃而使被害人走投无路被迫自杀的等情形。