提起公诉和批准逮捕分别是由哪个国家机关进行的？

在我国的司法体系中，提起公诉和批准逮捕分别由不同的国家机关负责。

首先说提起公诉。提起公诉指的是人民检察院代表国家，对犯罪嫌疑人的犯罪行为向人民法院提出控告，要求法院通过审判确定犯罪事实、惩罚犯罪人的诉讼活动。简单来讲，就是检察院觉得犯罪嫌疑人的行为构成犯罪，应该受到刑事处罚，就把这个案子交到法院去，让法院来审判。依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百六十九条规定，凡需要提起公诉的案件，一律由人民检察院审查决定。也就是说，只有人民检察院有权力决定是否对犯罪嫌疑人提起公诉。

再说说批准逮捕。批准逮捕是指人民检察院同意公安机关逮捕犯罪嫌疑人的请求。公安机关在侦查中认为需要逮捕犯罪嫌疑人时，应当制作提请批准逮捕书，连同案件材料和证据一并报送人民检察院审查批准。人民检察院根据相关法律规定和案件具体情况，作出是否批准逮捕的决定。《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十条规定，逮捕犯罪嫌疑人、被告人，必须经过人民检察院批准或者人民法院决定，由公安机关执行。一般情况下，公安机关没有直接决定逮捕犯罪嫌疑人的权力，需要经过检察院批准，特殊情况下法院也有决定逮捕的权力，但批准逮捕主要是检察院的职责。

综上所述，提起公诉的国家机关是人民检察院，批准逮捕主要也是由人民检察院负责，而逮捕的执行机关是公安机关。