继父抱养私生子后下落不明，私生子该由谁抚养？

在这种情况下，关于私生子的抚养问题需要依据相关法律规定来确定。首先，从法律概念上来说，“私生子”在法律上称为非婚生子女，根据《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条规定，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。不直接抚养非婚生子女的生父或者生母，应当负担未成年子女或者不能独立生活的成年子女的抚养费。

对于继父抱养的这个私生子，如果继父是通过合法的收养程序抱养的，那么在法律上继父与该私生子形成了收养关系，继父作为收养人，是法定的抚养义务人。但现在继父下落不明，根据《中华人民共和国民法典》关于监护和抚养的相关规定，如果被监护人的父母无法履行监护和抚养职责，有监护能力的祖父母、外祖父母、兄、姐可以按顺序担任监护人并承担抚养义务。也就是说，如果该私生子有其他近亲属且有监护能力，他们有抚养的可能。

对于你和你的母亲，如果你母亲与该私生子没有形成法律上的抚养关系，通常情况下你母亲没有法定的抚养义务。而你与该私生子没有直接的亲属关系，一般也没有抚养义务。不过，如果在继父下落不明期间，该私生子没有其他合适的抚养人，而你和母亲自愿抚养，那也是可以的，但这并非是法定义务。总之，确定最终的抚养人需要综合考虑多种因素，并依据法律规定来判断。