行政机关申请人民法院强制执行的期限是多久？

根据我国《行政强制法》第五十三条的规定，行政机关申请人民法院强制执行的期限是自被执行人的法定起诉期限届满之日起三个月内。这个期限的设定是为了确保行政机关及时行使强制执行权，同时也保护被执行人的合法权益。

首先，我们需要明确什么是“法定起诉期限”。根据《行政诉讼法》第四十六条的规定，公民、法人或者其他组织直接向人民法院提起诉讼的，应当自知道或者应当知道作出行政行为之日起六个月内提出。如果法律另有规定的，按照其规定。这意味着，被执行人在收到行政处罚决定后，有六个月的时间可以提起行政诉讼。

在法定起诉期限届满后，行政机关有三个月的时间向法院申请强制执行。如果行政机关在这三个月内没有提出申请，那么它将失去通过法院强制执行的权力。这种情况下，行政机关只能通过其他合法途径来促使被执行人履行义务，比如通过协商或者再次作出行政处罚决定。

那么，如果行政机关超过了三个月的申请期限，被执行人是否还需要履行处罚决定呢？根据《行政强制法》第五十三条的规定，如果行政机关未在法定期限内申请强制执行，法院将不予受理。这意味着，行政机关无法通过法院来强制执行处罚决定。但是，这并不意味着处罚决定自动失效。被执行人仍然有义务履行处罚决定，除非行政机关主动撤销或者变更了处罚决定。

需要注意的是，虽然行政机关失去了通过法院强制执行的权力，但它仍然可以通过其他合法手段来促使被执行人履行义务。例如，行政机关可以再次作出行政处罚决定，或者通过协商的方式与被执行人达成一致。

总结来说，行政机关申请人民法院强制执行的期限是自被执行人的法定起诉期限届满之日起三个月内。如果行政机关未在法定期限内申请强制执行，法院将不予受理，但被执行人仍然有义务履行处罚决定，除非行政机关主动撤销或者变更了处罚决定。