刑事诉讼抗诉应该向谁申请？

在刑事诉讼中，抗诉是人民检察院认为人民法院作出的判决、裁定确有错误时，依法向人民法院提出重新审理要求的诉讼活动。它是人民检察院对刑事审判活动进行法律监督的重要形式。

对于申请刑事诉讼抗诉的主体和对象，需要分不同情况来看。首先，如果是被害人及其法定代理人不服地方各级人民法院第一审的判决，自收到判决书后五日以内，有权请求人民检察院提出抗诉。这里申请抗诉的对象是人民检察院。依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百二十九条规定，被害人及其法定代理人不服地方各级人民法院第一审的判决的，自收到判决书后五日以内，有权请求人民检察院提出抗诉。人民检察院自收到被害人及其法定代理人的请求后五日以内，应当作出是否抗诉的决定并且答复请求人。

其次，如果是地方各级人民检察院认为本级人民法院第一审的判决、裁定确有错误的时候，应当向上一级人民法院提出抗诉。这里是人民检察院主动行使抗诉权，抗诉的对象是上一级人民法院。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百二十八条规定，地方各级人民检察院认为本级人民法院第一审的判决、裁定确有错误的时候，应当向上一级人民法院提出抗诉。

所以，被害人方申请抗诉是向人民检察院提出，而人民检察院主动抗诉是向上一级人民法院提出。