跟着老板干活时把客户东西摔坏了，该由谁负责？

在这种情况下，关于赔偿责任的归属，需要从不同的法律关系来分析。首先涉及到的是劳动关系或者劳务关系的概念。劳动关系，简单来说，就是劳动者与用人单位签订劳动合同，在用人单位的管理下进行有报酬的劳动。劳务关系则是提供劳务的一方为接受劳务的一方提供劳务服务，获得相应报酬。

根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条规定，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。用人单位承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的工作人员追偿。第一千一百九十二条规定，个人之间形成劳务关系，提供劳务一方因劳务造成他人损害的，由接受劳务一方承担侵权责任。接受劳务一方承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的提供劳务一方追偿。

如果您和老板之间是劳动关系，您是在执行工作任务时把客户东西摔坏了，那么一般情况下，应该由老板（也就是用人单位）来承担赔偿责任。这是因为您是为了完成老板安排的工作才导致的损害。不过，如果老板能够证明您在摔坏东西这件事情上存在故意或者重大过失，比如您是故意把东西弄坏，或者是因为严重的疏忽大意导致的，那么老板在承担赔偿责任后，可以向您进行追偿。

要是您和老板之间是劳务关系，同样，通常是由老板（接受劳务一方）来承担侵权责任。但如果您有故意或者重大过失，老板承担责任后也可以向您追偿。所以，判断谁最终承担赔偿责任，关键在于确定您和老板之间的关系，以及您在损坏物品过程中是否存在故意或者重大过失。