在没有合同的情况下，工厂开除员工该如何进行赔偿？

在没有签订合同的情况下，工厂开除员工的赔偿问题，需要分情况来看：

首先，关于未签订书面劳动合同的赔偿。根据《中华人民共和国劳动合同法》第82条规定，用人单位自用工之日起超过一个月但不满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同的，应当自用工之日起向劳动者每月支付二倍的工资。这是为了弥补用人单位未能与劳动者签署书面劳动合同时所产生的赔偿责任。例如，员工在工厂工作了3个月但未签合同，那么工厂除了要支付正常工资外，还需额外支付2个月工资作为赔偿。如果用人单位违反规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。

其次，关于工厂开除员工的经济补偿金问题。如果工厂开除员工符合法定需要支付经济补偿金的情形，例如用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同的情形（如劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作等），则还需要按照法律规定支付经济补偿金。经济补偿金的计算一般是按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

最后，如果工厂开除员工属于违法解除劳动合同的情况，例如用人单位没有合法理由随意开除员工，那么用人单位应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

如果员工遇到这种情况，可以去工厂所在地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，来维护自己的合法权益。